單變量求解在成纜工藝計(jì)算中的應(yīng)用
 
                           不對稱圓形電纜成纜外徑及空隙面積的計(jì)算通常采用圖解曲線法或經(jīng)驗(yàn)系數(shù)法，均受人為因素及其在作圖、讀圖時(shí)準(zhǔn)確度的影響，很難保證計(jì)算結(jié)構(gòu)的度，從而導(dǎo)致成纜模具大小和各空隙填充根數(shù)選擇不當(dāng)，引起成纜芯不圓整、填充過多或過少、甚至出現(xiàn)成纜模具過小而損傷絕緣線芯的現(xiàn)象，同時(shí)對材料消耗定額也會(huì)造成一定誤差。  

為計(jì)算“三大二小”等非對稱纜芯的成纜外徑與空隙面積，我們查閱了很多關(guān)于不對稱圓形電纜成纜外徑和間隙面積的計(jì)算方法與公式并進(jìn)行分析，繪制出不對稱圓形電纜纜芯的截面如圖1所示，利用三角函數(shù)原理推導(dǎo)出成纜外徑和空隙面積與絕緣線芯直徑之間較為復(fù)雜的關(guān)系方程組，對此關(guān)系方程組進(jìn)行認(rèn)真分析后發(fā)現(xiàn)有多組方程解，應(yīng)用解方程組的方法要想找出其中具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的解是非常困難。
Excel除了可以做一些一般的計(jì)算工作外，更可以做許多的分析工作。例如，使用Excel的單變量求解、規(guī)劃求解均可以求解Z佳值。
Excel的目標(biāo)搜索，可用來尋找要達(dá)到目標(biāo)時(shí)，需要有怎樣的條件等等。假設(shè)分析是指模型中某一變量的值、某一語句或語句組發(fā)生變化后, 所求得的模型解與原模型的比較分析。也就是說, 系統(tǒng)允許用戶提問“如果…”, 系統(tǒng)回答“怎么樣…”，這是手工所無法做到的。應(yīng)用計(jì)算機(jī)工具，Microsoft Excel中利用單變量求解原理將使方程組的解答過程變得較為簡單。在Excel中建立計(jì)算模型后僅需輸入大、小絕緣線芯直徑一次計(jì)算即可準(zhǔn)確得知纜芯外徑、邊隙面積和中心空隙面積，并且對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行正確與否的驗(yàn)證。
圖1 纜芯結(jié)構(gòu)示意圖





A：三大一小 B：三大二小C：四大一小

1 纜芯截面的幾何原理
1.1“三大二小” 芯
由“三大二小”纜芯截面示意圖可知：
中心填充面積=五邊形ABCDE的面積-2×（扇形OAG的面積+扇形GBO的面積+扇形OBC的面積+扇形BCO的面積+扇形OCH的面積）……………………………………………………………………………………（1）
大芯間填充面積=扇形A1OB1的面積-2×△AOG的面積-2×扇形A1AG的面積………………………… （2） 大、小芯間填充面積=扇形B1OC1的面積-△BOC的面積-扇形B1BC的面積-扇形BCC1的面積…………（3）
小芯間填充面積=2×（扇形C1OI的面積-△COH的面積-扇形C1CH的面積）………………………… （4）
其中：
扇形GAO的面積=扇形GBO的面積=∠GAO÷2×r12
扇形OBC的面積=∠OBC÷2×r12
扇形BCO的面積=∠BCO÷2×r12
扇形OCH的面積=（π/2-∠COH）÷2×r12
扇形A1AG的面積=扇形B1BG的面積=（π/2-∠AOG）÷2×r12
扇形B1BC的面積=∠B1BC÷2×r12；=（∠BOC+∠BCO）÷2×r12
扇形C1CB的面積=∠C1CB÷2×r22=（π-∠BCO）÷2×r22
扇形C1CH的面積=∠C1CH÷2×r22=（π-∠OCH）÷2×r22=（π-（π÷2-∠COH））÷2×r22
△AOB的面積=2×△AOG的面積=AB×GO÷2=（2r1）×（r1×ctg∠AOG）÷2
△BOC的面積=BC×（OC×sin∠BCO）÷2=（r1+r2）×（（R-r2）×sin∠BCO）÷2
COH的面積=CH×OH÷2=r2×（（R-r2）×Sin∠OCH）÷2
扇形A1OB1的面積=∠AOB÷2×R2=∠AOC×R2
扇形B1OC1的面積=∠BOC÷2×R2
扇形C1OI的面積=∠COH÷2×R2
1.2“三大一小”芯和“四大一小”芯
“三大一小”芯和“四大一小”芯的纜芯截面幾何原理并不困難，各部分的空隙面積可以對照纜芯截面示意圖1中的A、C，參照“三大二小”的纜芯截面幾何原理逐一推導(dǎo)出來。
2 列方程組、求解纜芯直徑
圍繞纜芯結(jié)構(gòu)示意圖進(jìn)行三角函數(shù)關(guān)系推導(dǎo)后，可以得出求解纜芯直徑所需的方程組如下：
2.1“三大一小”
4×r12÷（R-r1）-2×（R-r1）-（（R-r1）2+（R-r2）2-（r1+r2）2）÷（2×（R-r2））=0……………………（5）
2.2“三大二小”
在三角形CBA中，∠BOC = arcsin（（R-r1）2+（R-r22）-（r1+r2）2÷2×（R-r1）×R-r2））……………（5）
在三角形COH中，∠COH = arcsin（r2÷（R-r2））………………………（6）
在三角形AOG中，∠AOG = arcsin（r1÷（R-r1））………………………（7）
另有：∠AOB+∠BOC+∠COH=π，2×∠AOG+∠BOC+∠COH=π………………………（8）
2.3“四大一小”
在三角形COD中，cos∠COD=（（R-r1）2+（R-r2）2-（r1+r2）2）÷（2×（R-r2）） ……………………（9）
在三角形AOB中,sin∠AOB＝sin（∠AOC÷3）＝r1÷（R-r1） …………………………（10）
其中：R=OA1=OB1=OC1=纜芯半徑（㎜）；r1=AG=BG=AA1=大芯半徑（㎜）；r2=CH=CC1=小芯半徑（㎜）。
3 應(yīng)用計(jì)算機(jī)求解纜芯直徑和各部分填充面積
上述方程組如果按照傳統(tǒng)的計(jì)算方法求解，不僅難度很大，而且速度會(huì)很慢，尤其是對于“三大二小” 纜芯而言。在計(jì)算機(jī)已經(jīng)相當(dāng)普及的現(xiàn)在，利用Excel總的的單變量求解則上述方程顯得非常簡單，會(huì)取得事半功倍的效果。我們以“三大二小”為例，單變量求解的原理就是：要想計(jì)算結(jié)果正確，即纜芯面積＝空隙總面積＋絕緣芯面積，先假定成纜外徑為某個(gè)數(shù)值，然后計(jì)算機(jī)會(huì)不斷的調(diào)整假定值大小，直到*條件為止。在Microsoft Excel中，利用計(jì)算機(jī)內(nèi)部的函數(shù)功能按下述步驟建立模型文件。
在單元格A1中輸入 “三大二小纜芯計(jì)算模型”
在單元格A2中輸入“式1: COS∠BOC=（（R-r1）2+（R-r2）2-（r1+r2）2）÷（2×（R-r2）×（R-r1））
式2：SIN（∠COD/2）=r2÷（R-r2）
式3：SIN（∠AOB/2）=r1÷（R-r1）
式4：2∠AOG+∠BOC+∠COH=π
其中：R—成纜外徑；r1—大芯直徑；r1—小芯直徑；單位：mm ………（便于理解和記憶而設(shè)置）
在單元格A3中輸入 “△AOB:∠ABO＝” ; 在單元格B3中輸入 “=ACOS（B10/（B14-B10））”;
在單元格A4中輸入 “△AOB:∠AOB＝” ; 在單元格B4中輸入 “=PI（）-B3*2”;
在單元格A5中輸入 “△COB:∠BOC＝”; 在單元格B5中輸入“=PI（）-B4-E4”;
在單元格A6中輸入 “△COB:∠BCO＝”;
在單元格B6中輸入“=ACOS（（POWER（（B10/2+B11/2）,2）+POWER（（B14/2-B11/2）,2）-POWER（（B14/2-B10/2）,2））/（2*（B10/2+B11/2）*（B14/2-B11/2）））”;
在單元格A7中輸入 “△COB:∠OBC＝”; 在單元格B7中輸入“=PI（）-B5-B6”;
在單元格A8中輸入 “扇形OCH的面積mm2=”; 在單元格B8中輸入“=E3/2*POWER（B11/2,2）”;
在單元格A9中輸入 “扇形C1CH的面積mm2=”; 在單元格B9中輸入“=（PI（）-E3）/2*POWER（B11/2,2）”;
在單元格C3中輸入 “△COH：∠OCH=”; 在單元格E3中輸入“=ACOS（B11/（B14-B11））”;
在單元格C4中輸入 “△COH：∠COH=”; 在單元格E4中輸入“=PI（）/2-E3”;
在單元格C5中輸入 “△COD的面積mm2=”; 在單元格E5中輸入“=B11*SIN（E3）*（B14/2-B11/2）/2”;
依次再將△AOB、△COB的面積和扇形OCK、C1CK、A1OB1、B1OC1、D1OC1、D1OC1、GBB1、OBK、KBB1的面積照上述方式輸入單元格C6～H9中。
在單元格A10中輸入 “大芯直徑d1=”; 在單元格A11中輸入“小芯直徑d2=”;
在單元格A12中輸入 “過渡公式∠BOC=”; 在單元格B12中輸入“=ACOS（（POWER（（B14-B10）,2）+POWER（（B14-B11）,2）-POWER（（B10+B11）,2））/（2*（B14-B10）*（B14-B11）））”;
在單元格A13中輸入 “單變量求解公式”;在單元格B13中編輯公式 “=B12+D12/2+2*ASIN（B10/2/（B14/2-B10/2））-PI（）”;
在單元格A14中輸入 “成纜外徑D=”;
在單元格A15中輸入 “纜芯面積-空隙總面積-絕緣芯面積=”; 在單元格B15中輸入 “=ROUND（B14/2*B14/2*PI（）-（D10+D11*2+D13*2+D14+（POWER（B10/2,2）*3+POWER（B11/2,2）*2）*PI（））,2）”;
在單元格A16中輸入 “驗(yàn)證結(jié)果：”; 在單元格B16中輸入 “=IF（B15=0,C15,D15）”;
在單元格C10中輸入“中心孔隙面積=”; 在單元格D10中輸入 “=（E5/2+E6+E7）*2-（H6*4+H8*2+E8*2+B8*2）”;
在單元格C11中輸入 “大芯間空隙面積=”; 在單元格D11中輸入“=H3-E6-H7*2”;
在單元格C12中輸入 “過渡公式∠COD=”; 在單元格D12中輸入“=2*ASIN（B11/2/（B14/2-B11/2））”;
在單元格C13中輸入 “大小芯間空隙面積=”; 在單元格D13中輸入“=H4-E7-H9-E9”;
在單元格C14中輸入 “小芯間空隙面積=”; 在單元格D14中輸入“=H5-E5-B9*2”;
在單元格C15中輸入 “正確！”; 在單元格D15中輸入“錯(cuò)誤！”;
至此，計(jì)算模型已基本建成。為了便于理解，可將“三大二小”纜芯截面示意圖插入計(jì)算模型中；單元格A3～D9、A12～D12均屬計(jì)算過程中所需的過渡內(nèi)容，為了計(jì)算模型的美觀可將所在行隱藏。Z后形成如下圖所示的模型：




建立模型的過程中，在單元格中引用函數(shù)功能編輯公式的格式必須正確。
利用函數(shù)功能建立好模型后，輸入大、小芯絕緣線芯直徑，考慮到方程組會(huì)有多組解值，甚至包括無效解值，需要對成纜外徑賦予初值為大芯直徑的兩倍。然后對“=B14+D14/2+2*ASIN（B12/2/（B16/2-B12/2））-PI（））”單元格B15進(jìn)行單變量求解，并設(shè)定目標(biāo)值為0、變量為單元格B14（成纜外徑）且約束條件為大于兩倍小于三倍的大芯絕緣線芯直徑，運(yùn)行后即可得出成纜外徑D和各部分填充面積值。為了檢驗(yàn)計(jì)算值的正確性，已在A15～D15單元格中輸入驗(yàn)算條件“纜芯總面積-全部填充面積-全部絕緣線芯面積”，如果運(yùn)算結(jié)果為0則說明正確，否則為錯(cuò)誤。
“三大二小”芯電纜成纜外徑計(jì)算值在此文中不一一列出，需要時(shí)即可按照上述方法計(jì)算得出。運(yùn)算結(jié)果示例如：d1=40.0mm，d2=25.0mm→D=93.79mm，中心填充面積=508.5mm2，大、小芯間填充面積=246.9mm2，小芯間填充面積=113.9 mm2，大芯間填充面積=520.6 mm2，結(jié)果檢驗(yàn)：π×（93.79×93.79）÷4-π×（40.0×40.0）÷4×3-π×（25.0×25.0）÷4×2-508.5-2×246.9-2×520.6-113.9=0.00 mm2。
4 結(jié)束語
單變量求解的原理是首先假定成纜外徑為兩倍的大芯直徑，然后在約束條件內(nèi)一點(diǎn)一點(diǎn)地調(diào)整變量值（D），直到*規(guī)定的目標(biāo)值及一系列的中間公式并檢驗(yàn)正確。應(yīng)用單變量求解計(jì)算“三大二小”芯電纜成纜外徑和各部分填充面積，雖然三角函數(shù)關(guān)系復(fù)雜，推導(dǎo)時(shí)較麻煩，但*次建立好Excel表格文件以后隨時(shí)都可利用，而且運(yùn)算速度非常快、非常準(zhǔn)確。在此基礎(chǔ)上，如果設(shè)置了PVC填充條直徑、每根聚丙烯繩的填充面積，可以直接計(jì)算出各部分空隙的填充根數(shù)/直徑。
準(zhǔn)確的成纜外徑、填充面積計(jì)算值不僅能夠有效指導(dǎo)成纜配模、填充根數(shù)，有效避免配模偏大、偏小而導(dǎo)致纜芯松散、絕緣刮傷現(xiàn)象和填充過多、過少現(xiàn)象，對填充材料消耗定額計(jì)算也是一個(gè)準(zhǔn)確的計(jì)算依據(jù)。
值得注意的是盡管理論計(jì)算結(jié)果非常準(zhǔn)確，但在電纜生產(chǎn)過程中無論是成纜模具大小或填充根數(shù)均不一定*遵照上述計(jì)算結(jié)果執(zhí)行，必須根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整。